撰文 | 杰克·默塔（Jack Murtagh）翻译 | 陶兆巍
你可能会惊讶地发现，无论怎样梳理椰子表面像毛发一样的纤维，总会出现一处翘起来的“发旋”。这种现象其实是拓扑学（一个数学分支，主要研究几何对象或空间在连续变化下保持不变的性质）中的一项重要成果——“毛球定理”（hairy ball theorem）。尽管听上去略显滑稽，也不够严肃，但毛球定理对气象学、无线电传输乃至核能领域都产生了深远的影响。
这里的“发旋”可以理解为一处“斑秃”或一缕“垂直于头皮的毛发”。当然，正式的数学表述中并没有出现椰子或发旋。数学家更倾向于将椰子视为一个数学上的球体，而毛发状纤维对应着向量。正如我们在高中课本中所学，向量是具有大小（长度）和方向的量，通常表示为一个个箭头。贴着椰子表面的纤维对应于切向量——即与球体表面相切的向量。此外，为了能将这些椰子纤维梳理顺滑，我们还要求向量的分布是“连续的”，这些纤维不会在某一处突然断开，也就是说，相邻点上的向量方向不能出现突变。数学家把椰子纤维的这种排列方式称为球面上的切向量场（tangent vector field）。
综合以上信息，便有了毛球定理的严格表述：球面上不存在连续且处处非零的切向量场。这意味着，不管我们怎样尝试为球面上的每个点规划向量分布，椰子表面总会出现“难看”之处——要么在某处不连续（毛发分叉），要么出现零向量（斑秃或发旋），要么出现非切向量（直立毛发）。
毛球定理适用于所有“毛茸茸”的形状——只要它们的表面与球面拓扑等价（topologically equivalent）。拓扑学将物体视为可任意拉伸、压扁、膨胀，但不可撕裂、粘连或穿孔的橡皮泥。若某种形状可在满足上述约束的前提下连续变形为另一种形状，那么它们在拓扑学意义上就是等价的，比如边界平滑的毛茸茸立方体、没有洞的毛绒玩具或毛茸茸的棒球棍，它们都与球面拓扑等价，因此毛球定理对它们同样适用。
显然，我们头顶的头皮与球面并不是拓扑等价的。头皮可近似展开为一个平面，上面的头发可以像长毛地毯的纤维一样朝一个方向梳理。所以，很遗憾，数学并不能为你起床后的“凌乱造型”开脱。而环面（甜甜圈的表面）也不等价于球面。事实上，“毛茸茸的甜甜圈”的确可以被平滑梳理——只要让每根毛发都以同一个方向绕着甜甜圈打转即可。甚至我们有不止一种梳法，右页的图就是毛茸茸甜甜圈另一种更为别致的“发型”。
毛球定理有一个有趣的推论：地球表面始终存在至少一点水平风速为零。我们可以将地球大气风场视为一个连续的向量环流，地表每一处水平风速的方向和大小都可以用切向量来描述。根据毛球定理，必然存在“无风点”。这种无风点可能出现在气旋的中心，也可能因风垂直吹向空中而出现。程序员卡梅隆·贝卡里奥（Cameron Beccario）开发的在线工具（earth.nullschool.net）可以实时展示地球风场，其中能清晰地看见它的“发旋”。
毛球定理的另一个推论同样奇特：随意旋转篮球，其表面总有一点速度为零。我们同样可为球面上的每一点指定一个切向量，表示该点的速度方向和大小。旋转是一种连续运动，毛球定理适用于这种情况，据此能推出球面上必存在零速点。仔细思考，这个结论似乎显而易见——球体转动时，每一瞬间都在绕着某一条轴线自转，这条轴线两端的点本就不会运动。倘若我们顺着轴线钻一个小孔，将这一对静止点移除，是不是就消除了零速点，从而违背了毛球定理？并非如此。无论钻孔有多狭长，这样做都会使球面变成环面（甜甜圈），而环面并不能应用毛球定理，因此这里没有产生悖论。
抛开这两个“玩具示例”，毛球定理在现实中确实会影响工程学领域。比如，无线电工程师就会受到这一定理的制约。根据设计，天线可以向特定方向集中发射信号，或向周围广泛地发射信号。如果想要制造向所有方向发射等强信号的“各向同性天线”（isotropic antenna），便会遇到一个问题：等强辐射在某处必然归零。信号发射一小段时间后，电磁波会在距离发射点足够远处形成包围发射点的一个球面，球面上的电场始终垂直于传播方向，即为切向量场，但毛球定理要求该场在某点消失，从而引发天线信号盲区。因此，各向同性天线仅仅只能作为一个理论概念，用以对比评估实际天线的性能。有趣的是，声波并不具备与传播方向垂直的属性，因此全向等强发声的音响是完全可行的。
球面的“毛发”示意图，两端的垂直毛簇显示了无法消除的旋毛现象。
“甜甜圈”环面可实现无旋毛的光滑切向量场
毛球定理最酷的应用或许来自核聚变领域。聚变能蕴含着巨大的潜力，人们期待它在未来成为能源问题的终极解决方案。聚变装置以氢等轻元素为燃料，在极高的温度与压力条件下，原子会完全电离为电子和离子，形成高温等离子体。在这种状态下，粒子会高速运动并频繁发生碰撞，有一定几率发生聚变反应，产生较重的核子，同时释放出巨大能量。与传统的化石燃料相比，核聚变反应不会引发气候问题；而与核裂变反应堆相比，它的放射性风险更低。
然而，建造聚变反应堆面临一个根本性的工程难题：如何容纳温度是太阳核心温度十倍以上的等离子体？在如此高温下，所有实物材料都会被蒸发为等离子体。因此，科学家想到了一个巧妙的解决方案：利用等离子体的磁性，将其约束在强磁场中。最直观的容器设计，比如方箱或圆筒，都在拓扑学上等价于球面，这意味着，等离子体的磁场在这类结构表面都会构成连续切向量场，于是“毛球定理”再次出场：必然存在磁场零点。
磁场为零意味着“容器的漏洞”，这对聚变装置而言是致命的问题。因此，最先进的聚变反应堆设计——托卡马克（tokamak）——就通过采用环面（甜甜圈）型腔体解决了这一问题。国际热核聚变实验堆（International Thermonuclear Experimental Reactor, ITER）巨型项目计划于2039年开启全功率运行，研究团队表示，该项目建造的托卡马克装置将成为“有史以来最大的一体化超导磁体系统”。而托卡马克的设计正是拓扑学在清洁能源领域中的一次精彩亮相。
